確率計算統計python(22)が連続型ランダムベクトル縁の分布や条件の分布確率计算

連続型ランダムベクトルについて ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)の縁の分布や条件の分布は、密度の関数は元の関数である。 I = ( a , b ) I=(a, b) I=(a,b)の确率 P ( X ∈ I ) = ∫ a b f ( x ) d x P(X\in I)=\int_{a}^{b}f(x)dx P(XI)=abf(x)dxが、発進scipy . integrateバッグのquad関数。
quad(f, a, b) \text{quad(f, a, b)} quad(f, a, b)
うちパラメ- fは、積関数れ f ( x ) f(x) f(x)aとbはそれぞれ、マイレージ下限 a a aと上限 b b b
例1 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)密度の関数を
f ( x , y ) = { 1 y < x < 2 − y , 0 < y < 1 0 他の {f(x,y)=}{1y<x<2y,0<y<10他の

f(x,y)={10y<x<2y,0<y<1他の
(1)计算 P ( 0.5 < X < 3 / 1.5 ) P(0.5<X<3/1.5) P(0.5<X<3/1.5);(2) f Y ∣ X ( y ∣ x ) f_{Y|X}(y|x) fYX(yx);(3) P ( 0.1 < Y ≤ 0.4 ∣ X = 1.5 ) P(0.1<Y\leq0.4|X=1.5) P(0.1<Y0.4X=1.5)
(1)計算のため P ( 0.5 < X < 1.5 ) P(0.5<X<1.5) P(0.5<X<1.5)が、先にかける X X X縁の密度の関数 f X ( x ) f_X(x) fX(x) x ≤ 0 x\leq0 x0 x ≥ 2 x\geq2 x2 f ( x , y ) = 0 f(x, y)=0 f(x,y)=0ベルリンの時、 f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y = 0 f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dy=0 fX(x)=+f(x,y)dy=0 x ∈ ( 0 , 2 ) = ( 0 , 1 ] ∪ ( 1 , 2 ) x\in(0, 2)=(0, 1]\cup(1, 2) x(0,2)=(0,1](1,2)
x ∈ ( 0 , 1 ] x\in(0, 1] x(0,1]时,
f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y = ∫ 0 x d y = x f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dy=\int_{0}^{x}dy=x fX(x)=+f(x,y)dy=0xdy=x
x ∈ ( 1 , 2 ) x\in(1, 2) x(1,2)时,
f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y = ∫ 0 2 − x d y = 2 − x f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dy=\int_{0}^{2-x}dy=2-x fX(x)=+f(x,y)dy=02xdy=2x
上述したように、
f X ( x ) = { x 0 < x ≤ 1 2 − x 1 < x < 2 0 他の {f_X(x)=}{x0<x12x1<x<20他の
fX(x)=x2x00<x11<x<2他の

そこで
P ( 0.5 < X < 1.5 ) = ∫ 0.5 1.5 f X ( x ) d x = ∫ 0.5 1 x d x + ∫ 1 1.5 ( 2 − x ) d x = x 2 2 ∣ 0.5 1 + 2 ∣ 1 1.5 − x 2 2 ∣ 1 1.5 = 0.75 P(0.5<X<1.5)=\int_{0.5}^{1.5}f_X(x)dx=\int_{0.5}^{1}xdx+\int_{1}^{1.5}(2-x)dx\\ =\frac{x^2}{2}\big|_{0.5}^1+2\big|_{1}^{1.5}-\frac{x^2}{2}\big|_{1}^{1.5}=0.75 P(0.5<X<1.5)=0.51.5fX(x)dx=0.51xdx+11.5(2x)dx=2x20.51+211.52x211.5=0.75
(2)ことを我々は知っている f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f X ( x ) f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)} fYX(yx)=fX(x)f(x,y)わずか f X ( x ) ≠ 0 f_X(x)\not=0 fX(x)=0処が、故と x ∈ ( 0 , 1 ] x\in(0, 1] x(0,1]时,
f Y ∣ X ( y ∣ x ) = { 1 x 0 < y < x 0 他の {f_{Y|X}(y|x)=}{1x0<y<x0他の
fYX(yx)={x100<y<x他の

そして x ∈ ( 1 , 2 ) x\in(1,2) x(1,2)时,
f Y ∣ X ( y ∣ x ) = { 1 2 − x 0 < y < 2 − x 0 他の f_{Y|X}(y|x)={12x0<y<2x0他の
fYX(yx)={2x100<y<2x他の

(3)、 x = 1.5 ∈ ( 1 , 2 ) x=1.5\in(1, 2) x=1.5(1,2),故
f Y ∣ X ( y ∣ 1.5 ) = { 1 2 − 1.5 0 < y < 2 − 1.5 0 他の {f_{Y|X}(y|1.5)=}{121.50<y<21.50他の
fYX(y1.5)={21.5100<y<21.5他の


f Y ∣ X ( y ∣ 1.5 ) = { 2 0 < y < 0.5 0 他の {f_{Y|X}(y|1.5)}={20<y<0.50他の
fYX(y1.5)={200<y<0.5他の

そこで
P ( 0.1 < Y ≤ 0.4 ∣ X = 1.5 ) = ∫ 0.1 0.4 f Y ∣ X ( y ∣ 1.5 ) d y = ∫ 0.1 0.4 2 d y = 0.6. P(0.1<Y\leq0.4|X=1.5)=\int_{0.1}^{0.4}f_{Y|X}(y|1.5)dy=\int_{0.1}^{0.4}2dy=0.6. P(0.1<Y0.4X=1.5)=0.10.4fYX(y1.5)dy=0.10.42dy=0.6.
下记のコードを照合本例計算だ。

from scipy.integrate import quad			#导入quad
fx=lambda x: x if x<=1 else 2-x				#X縁の密度の関数
p, _=quad(fx, 0.5, 1.5)						#计算P(0.5<X<1.5)
print('P(0.5<X<1.5)=%.2f'%p)
f=lambda x: 1/0.5 if x>0 and x<0.5 else 0	#X|Y=1.5的密度函数
p, _=quad(f, 0.1, 0.4)						#计算P(0.1<Y<=0.4|X=1.5)
print('P(0.1<Y≤0.4|X=1.5)=%.4f'%p)

業界注釈によって、同プログラムを理解できる。 ( 0.5 , 1.5 ) (0.5,1.5) (0.5,1.5)ある f X ( x ) f_X(x) fX(x)ゼロ区間の非 ( 0 , 2 ) (0,2) (0,2)内は、故计算 P ( 0.5 < X < 1.5 ) P(0.5<X<1.5) P(0.5<X<1.5)取りのマイレージ式でだけ f X ( x ) f_X(x) fX(x)対応の非エクスプレションゼロ(见2行)。 f Y ∣ X ( y ∣ 1.5 ) f_{Y|X}(y|1.5) fYX(y1.5)ゼロの時も、考慮だけがその非エクスプレションと「2」。

P(0.5<X<1.5)=0.75
P(0.1<Y≤0.4|X=1.5)=0.60

これは今例の算定結果である。
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